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Lec1 overview of Computer Graphic

判断游戏画面水平如何
可以去看画面的明暗.亮的,一般都是采用了全局光照技术.从技术层面来看更加优秀

特效是最简单的图形学技术应用
特效是特殊的效果.在平常生活中见得很少,即使特效出错,观众不一定看得出来.而对日常东西的渲染更为困难

Visualization
Virtual Reality
Digital Illustration数字图像处理
Simulation
Graphic User Interface
Typography矢量字体?

• course topic
  • Rasterazation
  • Curves and Meshes
  • Ray Tracing
  • Animation / Simulation

CG与CV
一切需要理解,猜测的都是计算机视觉的内容.
no clear boundaries

Lec2 Review of Linear Algebra

A Swift and Brutal Introduction to Linear Algebra

Vectors

或者

dot product 点乘

for unit Vectors

符合

1. 交换律
2. 结合律
3. 分配律

用矩阵表达的点乘计算更加简单直接
在二维

同理对于三维

主要是用来寻找投影

对于在上的投影

若为,则

用处:
观察点乘结果判断

1. 两个向量是否接近
2. 两个向量的前后位置关系
   

cross product

方向上采用右手定则

没有交换律但符合分配律和结合律

是向量,不是单纯的

作用:
通过
叉乘结果判断

1. 左和右
   if()
   then,在左侧
   if()
   then,在右侧
2. 内和外
   利用左右判断
   if()
   then,p在内侧
   

在3D情况下寻找投影
类似于二维的情况

若

则

matrix

矩阵的乘法

不符合交换律但符合结合律和分配律
将向量vector视作列向量m*1的矩阵

矩阵的转置

单位矩阵
对于逆运算

将点乘与叉乘转换为矩阵乘法

Lec3 Transformation A

• transformation
  • modeling
    1. rotation
    2. scaling
  • viewing
    1. projection

homogeneous coordinate 齐次坐标

为解决Translation问题,齐次坐标堂堂登场

• 为什么 point用1补位 vector用0补位?
  对于向量来说,人类希望它由平移不变的性质.所以用0来保护它

  • 1的情况
  • 0的情况 确保了即使是利用矩阵乘法计算向量平移不变

或者换一个角度看

• 某个点沿着向量平移

• 
  对于点

• 题外话:
  trade off是一个在工程学科中必然存在的策略.齐次坐标虽然需要更多的性能
  但能够将基础的变换统一起来

增加的储存数据只有最后一列的与最后一行的,而且在大部分情况下,只要储存一个1就够了.性能开销不大的情况下实现了相当好的效果

modeling

先线性变换再平移

线性变换

除了平移之外都是线性变换?

都可以用一个统一的矩阵来表示

scale

缩放矩阵,缩放系数为

reflection

sheer 拉伸

rotate

写出正确的旋转矩阵,只需要找到前后变化的点的相对位置关系


推导的值,可以由特殊到一般,
带入推导随便算
对于旋转来说

存在下列关系:

可以用转置简单求得

线性变换的齐次坐标表示

非线性变换

Translation 平移变换

平移不是一个线性变换
为了避免这样的情况
引入了齐次坐标来解决

在齐次坐标下平移的表示

affine transform仿射变换

仿射变换:线性变换再接上平移
对于这样的操作来说,无法简单的写成与上方统一的矩阵相乘的形式
只能写成

但通过齐次坐标
可以写成

composing transform 组合变换

矩阵乘法的顺序会影响结果
所以变换顺序的不同也会影响结果

默认情况下先做旋转再做平移
对于下式来说

先做旋转再做平移

对于一系列操作来说
可以先合成之前的矩阵,最终变成
能够表达无数多的复杂变换

非原点旋转

顺序是从左到右
先平移到原点,再旋转,最后再平移回去

inverse transform 逆变换

使用逆矩阵就可以完成逆变换

Lec4 Transformation B

How to get a photo?

1. 摆pose modeling transformation
2. 选相机位置 viewing transformation
3. 按快门 projection transformation
   MVP!
   modeling viewing projection

三维下的模型变换

• 
  

affine transform

平移仍然在最后一列

scale

reflection

Translation

sheer

Rotate

• 沿着x轴旋转

• 沿着y轴旋转
  是最特殊的一个,右上角是
  下见推算过程

• 沿着z轴旋转

对于任意的3D旋转来说,可以分解为一个在3D直角坐标系中的

三个绕各个轴旋转的矩阵相乘
叫做欧拉角(Euler Angles)
战地中的开飞机也是这样

• Rodrigues’ Rotation Formula
  rotation by angle around axis

这部分是叉乘的矩阵表达形式

viewing/camera 视图变换

基础:
相机的位置 人的位置
相机看向的方向 眼睛朝向
相机顶部向量 脑袋歪斜方向

在物理学的角度,可以将物体的移动看成,相机位置不动,其他物体相对运动.
于是把相机固定在标准位置,
即
相机位于原点,永远看向-z轴,顶部指向y轴正方向
即



让操作计简化

标准化流程

2. 将后面几步旋转矩阵计算为同一个矩阵可得逆矩阵.由于矩阵计算困难,故使用逆矩阵
   
   第一行为(g x t) To X 结果
   第二行为t To Y的结果
   第三行为g To -Z的结果

projection 投影变换

• orthographic projection 正交投影
• perspective projection 透视投影

orthographic projection 正交投影

把z轴直接去掉,再进行平移与缩放到范围内,就可以得到正交投影的结果

工程上的做法

注意,

• 左右的范围为[l,r],left<right
• 上下的范围为[b,t],bottom<top
• 前后的范围为[f,n],far<near.因为我们看向的方向是-z,例如f=-9,n=1.

变换矩阵为

前一个为了缩放立方体到范围
后一个为了平移立方体中点至原点

但现在并没有完全完成变换,因为缩放的过程中存在拉伸,还需要后续的视口变换来矫正
也存在精度上的问题.把大的立方体缩放到小立方体,会导致信息损失

perspective transformation 透视投影

• 视锥如何定义?
  
  定义一个fov-Y(垂直可视角度),再定义一个aspect ratio(宽高比),就可以确定视锥的形状
  其他的数据都可以简单计算出来等等

将从视锥通过投影面截出来的截锥体挤压成cuboid,再进行正交投影,就可以得到透视投影
只要求得就行力

显而易见


但仍然不清楚

得到

可推算得

而根据定义,近平面,z不变可知
将带入

得

\begin{pmatrix}
0&0&A&B
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \ y \ f \ 1
\end{pmatrix}=f^{2}

\begin{align}A=n+f \ B=-nf\end{align}

M_{persp\rightarrow ortho}=\begin{pmatrix}
n&0&0&0 \ 0&n&0&0 \ 0&0&n+f&-nf \ 0&0&1&0
\end{pmatrix}

\begin{align}
M_{persp\rightarrow ortho}\begin{pmatrix}
x \ y \ \frac{n+f}{2} \ 1 \
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
n&0&0&0 \ 0&n&0&0 \ 0&0&n+f&-nf \ 0&0&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \ y \ \frac{n+f}{2} \ 1 \
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
nx \ ny \ \frac{n^{2}+f^{2}}{2} \ \frac{n+f}{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{2n}{n+f}x \ \frac{2n}{n+f}y \ \frac{n^{2}+f^{2}}{n+f} \ 1
\end{pmatrix}
\end{align}

M_{viewport}=
\begin{pmatrix}
\frac{width}{2}&0&0&\frac{width}{2} \ 0&\frac{height}{2}&0&\frac{height }{2} \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1
\end{pmatrix}

\begin{align*}
4\pi1^{2}I&=4\pi r^{2}I^\prime\
I^{\prime}&=\frac{1}{r^{2}}
\end{align*}

N_{v}={\frac{\sum_{i}N_{i}}{|\sum_{i}N_{i}|}}

\begin{align}
&(x,y)=\alpha A+\beta Y+ \gamma C\
&\alpha + \beta +\gamma=1
\end{align}

V=\alpha V_{a}+\beta V_{b}+\gamma V_{c}

\begin{align}
lerp(x,v_{0},v_{1})&=v_{0}+x(v_{1}-v_{0})\
x&\in(0,1)
\end{align}

\begin{align}
u_{0}&=lerp(s,u_{00},u_{10})\
u_{1}&=lerp(s,u_{01},u_{11})\
\end{align}

f(x,y)=lerp(t,u_{0},u_{1})

1^{2}+2^{2}+ \ldots+(\frac{n}{2})^{2}+n^{2}=\frac{4}{3}n^{2}

\begin{align}
b^{n}(t)&=b_{0}^{n}(t)=\sum^{n}{j=0}b{j}B_{j}^{n}(t)\
B_{i}^{n}(t)&=\ {\binom{n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}
\end{align}

\min(\sum_{i=1}^{n}distance^{2})

r(t)=o+td,0\leq t <\infty

p:(p-p^{\prime})\cdot{N}=0

\begin{align}
t_{enter}=max(t_{min})\
t_{exit}=min(t_{min})
\end{align}

\begin{align}
&x\
&\dot{x}=v\
&\ddot{x}=a\
\end{align}