平面, 直线和曲线表达式
平面的五种表达式
- 一般式 {
} - 点法式 {
}, 为垂直于平面的法向量 - 三点式 {
} 不共线的三点 - 截距式 {
}平面过 三点 - 平面束平面束方程：设
不成比例，则
过的平面束方程为
{} 不含
直线的四种表达式
- 一般式 {
}其中 不平行于 - 点向式 {
} 直线的方向向量为 - 参数式 {
} 为直线上的已知点, 为参数直线的方向向量为 - 两点式 {
直线过不同的两点
Q: 直线一般式定义的几何意义
A: 两个面的交线为要表示的直线
引入参数
Q: 如何将直线一般式方程
转换为平面束方程
A: 引入一个参数
Q: 直线
求直线
A: 直线
使用雅克比行列式求得
空间曲线三种表达式
- 一般式 {
} - 参数式 {
} - 坐标投影式
Q: 空间曲线一般式的几何背景
A: 两个曲面的交线
空间曲面的四种表达式
- 曲面方程 {
} - 二次曲面各种带有二次项的曲面
- 柱面动直线沿着指定曲线平行移动形成的曲面
- 旋转曲面曲线
绕着某条直线旋转一周形成的曲面
混合积
几何意义为
一般用于判断
点到点向式直线的距离
点
用张成的平行四边形的面积再除以底边
点到一般式平面的距离
点
Q: 直线
面为一般表达式
求直线在面上的投影的方程
A: 将直线
在平面束方程中找到垂直于
将两个平面方程连立得到投影方程
Q: 旋转曲面求解
A: 对于旋转曲面的题目很难说有通解
只能自己寻找几何关系求解
空间曲线
空间曲线参数方程
切线方程点法式
法平面方程点法式
空间曲线一般方程
空间曲面
空间曲面隐式方程
Q: 空间曲面显式方程
A: 法向量:
法线:
切平面方程:
空间曲面显式方程
正值法向量{c2: 向上}
负值法向量{c2: 向下}