02随机变量的分布函数

Q: 分布函数必须遵守的三大要求为
A: 单调不减, 有界, 右连续

已知区间 , 分布函数 求
的开闭情况一般为{左开右闭}

因为分布函数 的右连续性质

{分布律}只属于离散型随机变量
{概率密度}只属于连续型随机变量

分布律与分布函数 (累计分布函数) 的关系
分布函数是分布律的{累积函数}
离散型 {}
连续型 {}

离散型随机变量分布律

• 0-1 分布
  
  记作{}

离散型随机变量分布律

• 二项分布
  {}
  的取值范围:{}
  记作 {}

离散型随机变量分布律

• 泊松分布
  {} 为常数
  的取值范围:{}

泊松分布中参数 的意义为{在单位时间或空间内，该随机事件的平均发生次数}

离散型随机变量分布律

• 几何分布
  {}
  几何分布具有{无记忆性}

离散型随机变量分布律

• 超几何分布 (不放回抽样)
  {}
  的取值范围:{}

使用泊松分布来近似计算二项分布
设随机变量
当 充分大 较小，且 不太大，
可由参数为 的指数分布近似计算以 为参数的二项分布
{}

Q: 为什么在 条件下, 可以使用泊松分布来近似计算二项分布?
A: 在该条件下, 二项分布中的 与泊松分布中的 意义相同
举例
n=3600s p=每秒来客人的概率, 二项分布的分布函数为
该二项分布的意义为, 在一小时中, 来了 k 个客人的概率
由于 , 可以将 视作单位时间 (一个小时) 来客人的平均频率 , , 则泊松分布的分布函数为
该柏松分布的意义为, 在单位时间中 (一小时), 来了 k 个客人的概率
两者意义相同

对于超几何分布

当 时, 可以近似为{二项分布 }

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

• 均匀分布
  若随机变量 的概率密度为
  
  则称 在区间 () 上服从均匀分布. 记作 {}

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

• 指数分布
  {} 注意不同的定义域, 的取值不同
  {}
  指数分布也有无记忆性

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

• 正态分布
  {},
  {}

正态分布的四大要素
{定义域 }
{配方 }
{除系数 }
{添因子 }

正态分布的标准化
设 , 其分布函数为 , 则
{}
非零线性变换 服从正态分布 {}

指数分布的无记忆性
若 , 则对任意正数 有
{}

Q: 哪两个分布具有无记忆性?
A: - 几何分布

• 指数分布

不同的分布的现实意义
二项分布:{n 次独立实验中 k 次成功的概率}
几何分布:{第 k 次为第一次成功的概率}
指数分布:{从当前到事件发生需要等待时间⇐或者>X 的概率 (分别对应分布函数与生存函数)}
超几何分布:{不放回取 n 次, 取到 k 个白球的次数}
泊松分布:{事件单位时间内发生 k 次的概率}