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16无穷级数

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数项级数

Q: 什么是数项级数?
A: 级数中每一项都是常数项

四则运算的性质
有级数
对于
都收敛, {c1: 收敛}
收敛, 发散, {c1: 必发散}
都发散, {c1: 可能收敛}

Q: 改变级数有限项, 级数的敛散性会变化吗?
A: 不会
有限项影响不到级数整体的敛散性
级数的敛散取决于 时候的情况

级数收敛→加括号级数{c1: 收敛}(敛散性)
加括号级数收敛→级数{c1: 不一定收敛}(敛散性)

Q: 收敛的级数加括号依然收敛的逆否命题
A: 加括号的级数发散, 原级数必发散

收敛, 则
是级数收敛的{必要}(充分\必要) 条件

Q: 收敛, 则
是级数收敛的必要条件
对于数项级数成立吗?
对于幂级数成立吗?
A: 对于数项级数与幂级数收敛域内都成立
注意, 幂级数收敛域外不成立

收敛, 则
由逆否命题可得,
, 则原级数{必发散}

正项级数

正项级数的收敛原则
正项级数 {c1: 收敛}⇐> {c1: 有界}

Q: 正项级数四大判别法
A: 跟鸡比比
根式判别法:
比值判别法:
积分判别法
比较判别法

Q: 调和级数为什么叫作调和级数?
A:

级数 敛散性
{c1: },{c2: 收敛}
{c1: ,}{c2: 发散}

对数 级数 敛散性
{c1: },{c2: 收敛}
{c1: ,}{c2: 发散}

敛散性{条件收敛}

柯西凝聚判别法
对于通项包含对数的级数特别有效
如果 是一个正的单调不增序列，那么级数 与“凝聚级数” {} 的敛散性相同。

Q: 正项级数 收敛, 则 收敛的证明
A: 收敛, 则 有界
有界性可知, 当 时, , 于是
, 故由比较判别法知 收敛
比较判别法也可以

Q: 正项级数 收敛, 则 收敛
A:
收敛, 也收敛
则 收敛
由比较判别法可得, 收敛

正项级数敛散性判别, 比值判别法
{c1: }, , 级数{c1: 收敛}, , 级数{c1: 发散}

正项级数敛散性判别, 根式判别法
{c1: }, , 级数{c1: 收敛}, , 级数{c1: 发散}

斯特林公式
{}

Q: 正项级数敛散性判别
比值判别法
根式判别法
能够判定当 时候的情况吗?
A: 不能

正项级数敛散性判别, 比较判别法

  • 普通形式
    从 项起, 对于 , 有
    大收敛, 小{c1: 收敛}; 小发散, 大{c1: 发散}
  • 极限形式 不同的 对应不同的情况

Q: 比较判别法的极限形式的变形之等价无穷小替换
只有正项级数可以用等价无穷小, 来判断敛散性
以 为例
A:
由于 收敛, 所以 具有相同的敛散型, 也收敛

正项级数敛散性判别, 积分判别法
设 为正项级数，若存在 上单调减少的非负连续函数 , 使得 , 则级数 与反常积分 的敛散性{相同}

Q: 什么时候适合使用积分判别法?
A:

Q: 的敛散性与 的取值有什么关系?
A: 1. : 必收敛
2. : 仅当 时, 收敛
3. : 必发散

比较判别法的极限形式似乎可以不用{正项级数}
对于未知类型的级数
也有
, 可知, 与 同号, 必发散
, 与 同敛散

交错级数

交错 级数 绝对收敛与条件收敛
{c1: },{c2: 绝对收敛}
{c1: ,}{c2: 条件收敛}

Q: 交错级数 , 使用莱布尼茨判别法判别敛散性
A: 1. 单调不增 (单调性)
2.
则该级数收敛

莱布尼茨判别法是判别交错级数{充分不必要}(充要性) 条件

Q: 如果一个交错级数不满足莱布尼茨判别法, 这个级数可能收敛吗?
A: 仍有可能收敛
莱布尼茨判别法是交错级数的充分不必要条件
不满足莱布尼茨判别法仍然有可能是交错级数

绝对收敛与条件收敛与收敛的关系
设 为任意项级数
若{ 收敛}, 则 绝对收敛
若{ 收敛, 但 发散}, 则 条件收敛

{}交错调和级数,{条件收敛}(发散/条件收敛/绝倒收敛)

任意项级数

任意项级数
有级数
对于
都绝对收敛, {c1: 绝对收敛}
绝对收敛, 条件收敛, {c1: 条件收敛}
都条件收敛, {c1: 可能绝对收敛, 也可能条件收敛}

数项级数敛散性判别总结

Q: 数项级 数敛散性判别第一步一定是
A: 收敛的必要条件, 是否等于 0
若等于 0, 则可能收敛
若不等于 0, 则必发散

正项级数使用的判别法
通法: 部分和数列 有界则收敛, 无界则发散
抽象级数: 比较判别法
带有 形式的级数: 比较判别法的极限形式, 实际上是泰勒展开
带有阶乘形式的级数: 比值判别法, 消去阶乘
正项幂级数: 根值判别法
所有都搞不定的时候: 积分判别法

交错项级数敛散性的判别
先使用莱布尼茨判别法, 若满足, 则收敛
若不满足则转化为正项级数, 若绝对收敛, 则 收敛
若发散, 则使用级数收敛的定义进行判断

任意项级数敛散性的判别
转化为正项级数, 若绝对收敛, 则 收敛
若发散, 则使用级数收敛的定义进行判断

幂级数

  • 幂级数
    • 完整幂级数
    • 缺项幂级数

阿贝尔定理
当幂级数 在点 处收敛时，对于满足 的一切 , 幂级数{绝对收敛}
当幂级数 在点 处发散时，对于满足 的一切 , 幂级数{发散}

幂级数收敛半径需要满足的条件
对于 有

  1. 当 时，{发散}
  2. 当 时，{绝对收敛}
  3. 当 时，{需要讨论}
    则 为收敛半径
    为收敛区间

幂级数 在 处{条件收敛}
则收敛半径为{}

Q: 不缺项幂级数
收敛半径求解
使用比值或者根值判别法
A:

Q: 不缺项幂级数
收敛域求解
A: 收敛半径求解, 得到的收敛半径
判断区间 端点上的敛散性, 最终得到收敛域

Q: 缺项幂级数或者一般幂级数
收敛区间, 收敛域求解
A: 1. 加绝对值, 即写成
2. 用正项级数的比值 (或根值) 判别法令 或 求出收敛区间
3. 单独讨论 时 的敛散性, 从而确定收敛域

缺项幂级数或者一般幂级数
收敛区间, 收敛域求解

  1. 加绝对值, 即写成
  2. 用正项级数的比值 (或根值) 判别法令 或 求出收敛区间
  3. 单独讨论 时 的敛散性, 从而确定收敛域
    注意, 这里的判别法只是{充分条件}, 而不是必要条件
    有的 收敛半径存在, 但比值, 或者根值判别法的结果不存在

收敛区间与收敛域的区别
收敛区间{不讨论}端点的敛散性
收敛域{讨论}端点的敛散性, 更加严格

幂级数 与 的四则运算法则
收敛半径分别为 , , 且
数乘: {}, , 为常数
加减法: {}, {}
乘法运算:

幂级数 与 的四则运算法则
收敛半径分别为 , , 当 时
的收敛半径 {}

和函数

Q: 求和函数的两大出题方向
A: 1. 套常见的级数形式, 进行先导后积或者先积后导
2. 构造关于和函数的微分方程求解

Q: 和函数 与幂级数 , 收敛域 之间的关系
A: 幂级数只有在收敛域内, 收敛
收敛域内不同的 对应的幂级数收敛到不同的值
描述的就是在收敛域内, 幂级数收敛到的值与 之间的关系

和函数 在其收敛域 上一定{c1: 连续}(函数的四大之一), 不存在{c1: 间断点}

Q: 和函数 在其收敛域 上连续
求 的值, 可以用极限 近似吗
A: 可以
连续的性质决定了和函数 的左右极限与函数值是充分靠近的
例如幂级数收敛域为 , 则

Q: 已知幂级数 收敛半径为 , 收敛域为


进行求导或者积分之后, 收敛半径与收敛域的变化情况
A: 求导: 收敛半径不变, 收敛域可能缩小
积分: 收敛半径不变, 收敛域可能扩大

和函数重要展开式, 可以联系泰勒展开式记忆
{}, 收敛域:{}
{}, 收敛域:{}
{}, 收敛域:{}
{} , 收敛域:
当时当时当且时当时
{}, 收敛域:{}
{}, 收敛域:{}

母型级数

三大母型级数在收敛域内有
正项不缺项幂级数:{c1: } ={c2: }
正项缺项幂级数:{c1: }={c2: }= {c2: }
交错缺项幂级数:{c1: }={c2: } 收敛域为

子型级数

唯一的子型级数在收敛域内有
{c1: }={c2: }
{c1: }={c2: }
{c1: }={c2: }

阶乘型级数

阶乘类型的级数
{}, 收敛域:{}
{}, 收敛域:{}
{}, 收敛域:{}

傅里叶级数

傅里叶级数的定义
设函数 是周期为 的周期函数，且在 上可积，则
{c1: }
{c1: }
{}
注意对于 的 取值范围不同

狄利克雷收敛定理
设 是以 为周期的可积函数，如果在 上 满足：

  1. 连续或只有有限个第一类间断点；
  2. 至多只有有限个极值点
    则 的傅里叶级数在 上{处处收敛}(敛散性)
    记 的傅里叶级数的和函数为 , 则
为连续点为间断点

Q: 狄利克雷收敛定理的意义
A: 给出了傅里叶级数的和函数 与 之间的关系
给了计算函数另外一种方法

傅里叶级数
当 为{奇函数}时, 展开式为{正弦函数}
当 为偶函数时, 展开式为{余弦函数}

周期奇拓展
设 定义在 上，令
{}
正弦展开和一般的奇函数一样, 就是要注意定义域为
展开式为
{}
{},

周期偶拓展
设 定义在 上，令
{}
余弦展开和一般的偶函数一样, 就是要注意定义域为
展开式为
{}
{},

关系图谱