09一元函数积分学的计算

{}
{}
{}
{}
{}
{},

{c1: }
{c1: }
{c2: }
{c3: }
{c4: }(标准形式)={c4: }(半角形式)
{c4: }(标准形式)={c4: }(半角形式)
{c5: }
{c5: }

{}
{}
{}
{}
{} 定义域为全体实数
{} 定义域为

Q: 第二类欧拉积分: 伽马函数的两种表达形式与递推式
A:
(使用 进行代换)
伽马函数的递推式:

{}, 为非负整数

好的，这个公式非常著名，它实际上是伽玛函数 (Gamma Function) 在整数点上的取值。推导这个公式的核心方法是分部积分法 (Integration by Parts) 和递推关系。

我们来一步步推导。

设 。我们的目标是证明 (其中 n 为非负整数)。

我们先从最简单的情况 n=0 开始。

这是一个基本的广义积分：

计算在上下限的值：

• 上限：
• 下限：
  所以，
  
  我们知道 0! = 1，所以公式在 n=0 时成立。

现在，我们对 使用分部积分法，试图找到它和 之间的关系。
分部积分法公式为：

对于积分 ，我们选择：

• (这样微分后，n 的幂会降低)

于是，我们得到：

将这些代入分部积分公式：

现在我们来处理第一项 ：

• 在下限 x=0 处： (对于 n > 0)。
• 在上限 x→+∞ 处：我们需要计算极限 。
  这是一个 ”∞/∞” 型的不定式。我们可以连续使用洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule) n 次。但更直观地，指数函数 的增长速度远快于任何多项式函数 。因此，这个极限为 0。

所以，第一项的值为 。

这样，我们的表达式就简化为：

我们注意到，等式右边的积分正是 的定义！
所以，我们得到了一个非常关键的递推关系：

现在我们可以利用这个递推关系和第一步算出的基础情况 来求解 。

• …

将它们串联起来：

一直展开到最后：

我们已经知道 ，所以：

这正是阶乘的定义！

原函数计算过程

原函数计算过程