01行列式

行列式定义

行列式的定义 阶行列式定义为
{}
即 {}(数量) 项{不同行不同列}元素乘积的代数和
其中 序列的逆序数

行列式的本质是{测度}

行列式运算规则

两行 (两列) 互换, 行列式符号{换号}

一行 (或列) 乘 加到另一行 (或列), 行列式的值{不变}

两行 (两列) 成比例, 行列式为{}

经典行列式

主对角上下三角行列式
{}

副对角上下三角行列式
{}

阶 形行列式
{}

范德蒙行列式
{}{}
使用数学归纳法证明, 不需要掌握

分块行列式

Q: 为 阶矩阵, 为 阶矩阵

为什么
A: 经过了 次数的交换, 能够将 变为

为 阶矩阵, 为 阶矩阵, 为 阶矩阵
{}
{}
{}
分块上/下三角结构行列式计算规则与一般行列式相同

Q: 对于对于普通的分块矩阵
是否可以套用二阶行列式的计算规则?
A: 不可以
必须是严格的分块上/下三角结构的分块矩阵才可以使用

余子式与代数余子式

的余子式为{c1: }
的代数余子式 {c1: }

代数余子式与余子式的关系
={}

行展开定理
展开行元素与{行列都对应}的代数余子式相乘, 结果为{}
展开行元素与{行对应, 列不对应 或者 行不对应,列对应}的代数余子式相乘, 结果为{}

行列式的性质

设 为 阶矩阵, 则
{}
{}
{}
{}
{}
设 的特征值为 则 {}
若 与 相似, 则 {}

行列式拆分与合并计算
{} = {}
一次拆分或合并一列

Q: 在什么样的条件下成立?
A: 只有当 A, B 均为方阵的时候成立

克拉默法则

克拉默法则并非对所有线性方程组都适用, 它必须满足以下两个严格的条件:

1. 方程的个数必须等于未知数的个数. 也就是说, 如果你的方程组有 n 个未知数 (如 x, y, z), 那么就必须有 n 个方程. 这确保了系数矩阵是一个方阵(n x n 矩阵).
2. 系数矩阵的行列式不能为零 (D ≠ 0). 这是最关键的条件. 如果行列式为零, 该方程组要么没有解, 要么有无穷多个解, 克拉默法则在这种情况下无法使用.

Q: 现有以下方程组, 使用克拉默法则求解

A: 1. 化为矩阵乘法

2. 计算系数矩阵 A 的行列式

3. 计算 Dⱼ. 对于每一个未知数 xⱼ, 我们构造一个新的矩阵 Aⱼ, 方法是将系数矩阵 A 的第 j 列替换为常数项向量 b.然后计算这个新矩阵的行列式, 记为 Dⱼ.

同理, D₂ 就是把 A 的第二列换成 b 后的行列式, 以此类推.
4. 求解. 每个未知数的解就是对应的 Dⱼ 除以 D: