01函数极限与连续

Q: 基本初等函数有哪些
A: 反对幂指三+常数

严格单调函数{必有}反函数

有反函数{不一定}是单调函数, 例如

双曲正弦函数:{c1: }与反双曲正弦函数{c1: }

Q: 对反双曲正弦 求导
A:

反双曲正弦的等价无穷小
{}

端点不讨论{极值}问题

费马定理: 设 在 处满足{可导}并且{取到极值}, 则

隐函数的定义
设方程 , 若当 取某区间内的任一值时, 总有满足该方程的唯一 存在, 则称 在上述区间内确定了一个隐函数

隐函数定义与一般函数定义的区别
一般函数显式地定义了 与 之间的关系
而隐函数则将 与 之间的关系隐藏在 中. 当 取到 的定义域时, 会有一个 来满足 而不是能够直接得到 具体的值

函数的四大特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性. 高数范围内对于函数的讨论主要就集中在这几块.

函数有界性定义
设 的定义域为 , 数集 . 如果存在某个正数 , 使得对任一 都有 , 则称 在 上有界. 若不存在, 则称 在 上无界

设 的定义域为 , 数集 , 数集 是定义域 的子集

由定义来看, 数集 表明, 有界性对函数本身的{连续性}不做要求, 即使是离散函数, 也可以确定是否有有界性

有界还是无界前提是一个{指明区间 I}
没有指明区间判别不了有界性. 例如 在 上有界, 而在 上无界

转化绝对值常用的恒等式 {}

函数单调性的定义
设 的定义域为 , 区间 . 对于区间 上的任意两点 , , 当 时, 恒有 , 则称 在区间 上单调增加

单调性要求原函数在定义域的某个区间内为{连续函数}

为什么单调性要求原函数在定义域的某个区间内为连续函数
从单调的定义看对于区间 上的任意两点 , , 当 时, 恒有
可以做以下证明若于点 不连续


由于
夹逼准则

显然, 于点 不连续相悖. 反证法得出必连续

Q: 单调性判别的两种方法
A: 求导, 定义
求导法:
的正负性确定单调性
定义法:
是单调不减函数 ⇐>
是单调不增函数 ⇐>

定义法判别函数单调性, 利用同号相乘为正, 异号相乘为负
是严格单调增函数 ⇐>
是严格单调减函数 ⇐>
是单调不减函数 ⇐>
是单调不增函数 ⇐>

奇偶性定义
设 的定义域 关于原点对称 (若 , 那么 ), 若对于任一 , 恒有 , 则称 为偶函数
同理, 若对于任一 , 恒有 , 则称 为奇函数

奇偶性判断的第一步: 判断{定义域是否对称}

奇偶性判断
必是{c1: 偶函数}
必是{c1: 奇函数}

Q: 任何一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式吗?
A: 可以
对于任意函数 ,
令 ,

复合函数奇偶性判断口诀
{内偶则偶, 内奇同外}

下界为 求积分, 为奇函数 奇函数变为偶函数

对于任意的 , 都有 , 则 为奇函数

对于任意的 , 都有 , 则 为奇函数的证明
可知 , 令 , .
注意, 奇函数不一定满足 .
为充分条件, 不是必要条件

Q: 周期函数定义
A: 设 的定义域为 , 如果存在一个正数 , 使得对于任一 , 有 , 且 , 则称 为周期函数, 称为 的周期.

复合函数周期性判断口诀
{内周则周}

Q: 周期函数的导数还是周期函数吗?
A: 是的
若 是以 为周期的可导函数, 则 也以 为周期

基本初等函数有哪些?
{反 (反三角) 对幂指三+常数}

当 时, 由 与 , , 具有相同的单调性且与 具有相反的单调性, 故
见到 , 时, 可用 来研究最值;
见到 时, 由 ,可用 来研究最值;
见到 时, 可用 来研究最值;
见到 时, 可用 来研究最值 (结论相反, 即 与 的最大值点、最小值点相反).
找具有相同单调性的函数替换, 进行最值研究的思路值得借鉴

常用转化

的奇偶性: 奇函数

的周期性: 以 为最小正周期

正割:

{c1: }
{c1: }
{c2: }
{c2: }

幂指函数是初等函数吗
是的, 例如 , 其实就是 e 的指数函数

求反函数要注意, 只有落在主值区间内才有反函数

奇偶性： 为奇函数 (在其定义域内).

初等函数的定义域可以是孤立的点吗?
可以
初等函数的定义域可以是一个区间，也可以是几个区间的并集，甚至可以是一些孤立的点. 例如， 的定义域是

分段函数是初等函数吗
一般来说不是. 例外如 , 可以被认为是初等函数与分段函数

Q: 极限的定义

• 文字语言
• 语言
  A: 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义. 若存在常数 , 对于任意给定的 (不论它多么小), 总存在正数 , 使得当 时，对应的函数值 都满足不等式 , 则 叫作函数 当 时的极限，记为

写成“ 语言”: .

函数极限存在的充要条件
两个角度

• 该点不存在定义的情况
• 该点存在定义的情况
  两个定义的角度, 左右极限存在 (一般用在该点不存在定义的情况) 且相等或该点函数值为实数

Q: 函数极限唯一性
A: 如果极限 存在，那么极限唯一

对于 的下标解释
对于 , 意味着{c1: 且 }
对于 , 意味着{c1: 且 }

Q: 存在吗?
A: 不存在
, 根据”极限若存在, 必唯一”, 得原极限不存在

Q: 分段函数的间断点 极限
A: 求间断点左右不同函数接近 的极限

局部有界性的证明

而
令 , 显然成立

极限存在与局部有界的关系
极限存是局部有界的{充分不必要条件}

连续函数, 闭区间上必有界

Q: 有限个有界函数的和差积仍然有界吗?
A: 是的

Q: 什么是局部保号性?
A: 如果一个函数在某一点的极限值不为零，那么在该点的某个足够小的去心邻域内，函数值的符号将与该极限值的符号保持一致。

, , 正负性与 相同

有限个无穷小的和是{无穷小}

有界函数与无穷小的乘积是{无穷小}

有限个无穷小的乘积是{无穷小}

是比 高阶的无穷小: {c1: }
是比 低阶的无穷小: {c1: }
与 是同阶无穷小: {c1: }
与 是等价无穷小: {c1: }
是 的 阶无穷小: {c1: }

Q: 是不是所有的无穷小比较都有结果 (高阶, 低阶, 同阶)?
A: 不是, 例如 与 , 虽然 都有极限, 但是 极限不存在, 没有高低阶也没有同阶可言

下的等价无穷小, 注意广义化
{}
{}
{}
{}
{}
{}
{}
{}
{}
{}
{}, 可做广义化至

使用等价无穷小替代, 要遵{守恒等变换}的原则
例如
看似是 直接变为 , 实际上是经过恒等变换, 再用 时, 得到最终结果
例如

Q: 可以拆分为 的条件是
A: 与 均存在, 即他们的极限值都是实数

Q: 可拆分条件为
A: 乘除法中有一个极限存在就行了, 但除数不能为 0
例如 , 上式就可以改写为

极限四则运算的存在性
存在 不存在
{必不存在}

极限四则运算的存在性
不存在 不存在
{可能存在}
例如
, , 两者各自极限不存在
但是 , 四则运算之后, 极限存在

极限四则运算的存在性
存在, {c1: 不一定存在}, {c1: 不一定存在}

极限四则运算的存在性
存在, 不存在
则 {不一定存在}
因为
所以, 当 时
存在

极限四则运算的存在性
不存在 不存在
则 {不一定存在}

Q: 洛必达极限存在是函数极限存在的什么条件?
A: 充分不必要
洛必达极限存在，函数极限必存在；但函数极限存在，洛必达极限不一定存在
比如说，

无穷小乘以有界函数, 结果为 0, 极限存在
而如果使用洛必达法则，会有
,
极限并不存在

Q: 当 时, 有 , 其中 . 对它们进行排序
A: 对数<<幂<<指数<<阶乘<<幂指

Q: 泰勒公式的意义
联系几何中的坐标系
A: “基”
坐标系中, 用坐标轴/基向量, 来描述其他的向量
泰勒公式就是函数中的坐标轴/基向量

不同大小的基, 能够表达出世界上所有的函数

在 时, 重要函数的泰勒公式/泰勒展开式
{c1: }
{c1: }
{c2: }
{c3: }
{c3: }
{c4: }
{c4: }
{c5: }
{c6: }
{c7: }
{c7: }

{}

的推广
若 为正整数
则 {c1: }

无穷小的四则阶数运算, 设 为正整数, 则
{} 无穷小低阶吸收高阶
{}
{} 乘法阶数累加
{}{} 非零常数相乘不影响阶数

可以用泰勒公式处理的两种情况
{ 型上下同阶}
{ 型幂次最低}

Q: 泰勒公式如何处理 型问题
A: 展开到分子分母相同阶次

Q: 泰勒公式如何处理 型问题
A: 左右 A, B 泰勒展开到相同次幂的系数不同为止

Q: 对于 , 在怎样的条件下可以使用夹逼准则?
A: 左右极限存在且相等

Q: 什么是未定式?
A: 这样的形式, 极限是否存在

Q: 未定式的计算方法
A: 1. 化简先行
2. 判断类型
3. 选择方法
- 洛必达
- 泰勒
- 夹逼 (一般就是最后的手段了)
-

奇函数泰勒展开, 项系数为{0}

Q: 为什么奇函数泰勒展开, 项系数为 0
A: 以 在 点展开为例

显然, 项系数为 0
这样的基构造出来的函数必定是奇函数
必要性已证明
充分性不会 QWQ

Q: 连续是指 形成的图像连续吗?
A: 不是. 连续是点本身的某个性质, 与定义域内其他点没有关系.
图像连续要求定义域内的点之间靠近. 显然不满足.

Q: 连续的严格定义
A: 设函数 于某一邻域内有定义, 且有 , 则称 于 点处连续

间断点的分类

• 第一类
  • 可补/可去 {}
  • 跳跃 {}
• 第二类
  • 无穷 { 或者 }
  • 振荡 {例如 来回振荡, 0 点即为 的振荡间断点}

Q: 振荡间断点的振幅可以是无穷大吗?
A: 无穷间断点是指极限存在 或者
而振荡间断点, 振幅可能是无穷大. 是无界振荡函数
例如 , 振幅为 , 但它是振荡间断点, 而不是无穷间断点. 因为它的极限是不存在的

Q: 振荡间断点的细分 (有界/无界)
A: 无界: . 是振荡间断点, 无界振荡
有界: . 是振荡间断点, 有界振荡.

{c1: }
{c1: }