05一元函数微分学的应用(一)---几何应用

极值

极值{不要求}(要求/不要求) 点的{连续性}(函数四大性质之一)

Q: 在点 取到极值, 对该点的连续性有要求吗?
A: 没有要求
从极值的定义就可以看出
极值点相对于该点附近的其他点而言的
只要比该点的某个邻域内所有点大或小
就可以判断该点是极值
该点有没有连续性不影响是否是极值点

Q: 极值的直观定义
A: 对于函数 , 若存在点 的某个邻域, 使得在该邻域内任意一点 , 均有 (或 成立, 则称点 为 的极大值点 (或极小值点 ), 为 的极大值 (或极小值)

Q: 费马定理的定义
A: 在 处可导, 且在点 处取得极值, 则必有

一阶可导点为 , 则{}是 为{极值点}的{必要条件}, 但并不是{充分}条件

Q: 为什么一阶可导点为 , 则 是极值点的必要条件, 但并不是充分条件? 从必要与充分两个角度说明.
A:
充分:
例如形如 的函数

显然
但 是拐点而不是极值点
从极值的第三充分条件判断可知
是否是 是否是极值点还需要高阶导数来参与判断
必要:
直接用费马定理就可以了
从极值点的定义看, 要求 是邻域内最大或最小的点,
显然成立

Q: 判断极值的第一充分条件
A: 去心邻域内一阶导数值判断
设 在 处连续，且在 的某去心邻域 内可导.
若 时 , 而 时 , 则 在 处取得极小值；
若 时 , 而 时 , 则 在 处取得极大值；
若 在 和 内不变号，则点 不是极值点.

Q: 判断极值的第二充分条件
A: 一阶导数值等于零, 二阶导数值存在
设 在 处二阶可导, 且 , .
若 , 则 在 处取得极大值;
若 , 则 在 处取得极小值.

Q: 判断极值的第二充分条件是必要条件吗?
A: 注意是 不必要 条件
可以由第三充分条件证明
例如
当 时, ,
函数于 处取得极大值. 而此时显然,
在 的情况下取到了极大值.

Q: 判断极值的第三充分条件
A: 第二充要条件的推广
设 在 处 阶可导，且 , 则
当 为偶数且 时， 在 处取得极大值；
当 为偶数且 时， 在 处取得极小值.

驻点

Q: 什么是驻点
A: 一阶导结果为 的点

驻点与不可导点的区别
不同

Q: 凹凸性的定义

• 几何角度
  A: 从几何的角度很好理解, 注意从代数的理解

点 是拐点, 且 存在, 则, {}

某点二阶导为 , 是该点为{拐点}的{必要条件},{不是}{充分条件}

二阶导为{},{不一定}是{拐点},
例如 , , 但不是拐点

Q: 二阶导不存在仍有可能是拐点吗?
A: 有可能
例如 . , 均不存在, 但仍在 取到拐点

Q: 通过二阶导判别凹凸性
A: 设函数 在 上二阶可导
若在 上 , 则 在 上的图形是凹的
若在 上 , 在 上的图形是凸的

Q: 判别拐点的三大充分条件
A: 判断拐点的三大充分条件与判断极值点的三大充分条件相类似

注意第三充分条件不需要 的条件

可导点与不可导点

{不可导点}{可以}同时为拐点与极值
不可导点只能从定义出发
极值点的定义是比邻域内的点都要大或者小
拐点的定义是

{可导点}{不可以}同时为拐点与极值点
这点可以从拐点与极值点判断的第三充分条件看出来

多项式极值点与拐点

设多项式函数 , 其中 是正整数， 是实数且 两两不等，, , , .
记 为 的个数， 为 且 为偶数的个数， 为 且 为奇数的个数，则 的极值点个数为{}, 拐点个数为{}

图像判断极值点, 拐点

Q: 已知函数 的图像, 如何判断极值点
A: 该点为邻域内最值

Q: 已知函数 的图像, 如何判断拐点
A: 该点函数凹凸性改变

Q: 已知函数 的图像, 如何判断极值
A: 该点两边 正负性变化

Q: 已知函数 的图像, 如何判断拐点
A: 该点为邻域内最值

渐进线

Q: 寻找渐近线的过程
A:
660.20.48

水平渐近线与函数图像{可能有}交点.

Q: 求斜渐近线
A: 斜渐近线一般出在已知极限求参数的题目中
求 ,
,

求最值

Q: 求 上连续函数 的最大值 M 与最小值 m
A:

Q: 求 区间上连续函数 的最值或取值范围流程图
A:

曲率

设 二阶可导, 则曲线 在点 处的曲率公式为
{$$
k=\frac{|y^{\prime\prime}|}{[1+(y^{\prime})^{2}]^{\frac{3}{2} } }