14二重积分

二重积分定义中的四步走是?
与一元函数的定积分区别不大, 只是维度更高了
都是四步走

1. 分割
2. 近似
3. 求和
4. 取极限

在有界闭区间 上连续, 则二重积分 {必存在}(存在性)
可以联想到一元函数 在有界闭区间 上连续, 则 必存在

Q: 二重积分的积分区域可加性
设 在有界闭区域 上可积, 且 , 则
A:

Q: 二重积分的积分保号性
当 在有界闭区域 上可积时, 若在 上有

则有
A:
特殊地, 有
和一元函数的性质也差不多 QWQ

Q: 二重积分的估值定理
设 , 分别是 在有界闭区域 上的最大值和最小值, 为 的面积, 则有
A:

Q: 二重积分的中值定理
设函数 在有界闭区域 上连续, 为 的面积, 则在 上至少存在一点 , 使得
A:

Q: 如何判断轮换对称性? 两种情况
A: 1. 题目给的是围成区域的边界方程
例如
把条件中的 x 与 y 互换, 得到
互换后围成的边界与原来围成的边界还是同一个
那么 x, y 就具有轮换对称性
2. 题目给的是不等式
例如
把条件中的 x 与 y 互换, 得到,
互换后围成的边界与原来围成的边界还是同一个
那么 x, y 就具有轮换对称性

Q: 什么是积分的轮换对称性?
A: 通俗来说就是 中的自变量拥有相同的地位,
例如 ,
对于这条 上, 有相同的地位, 自然我们可以把 改写为

Q: 轮换对称性的意义
A: 化简计算
例如 ,
这里 地位相同, 具有轮换对称性

直角坐标系下的计算

• X 型
  • {}
• Y 型
  • {}
    后积先定限
    限内画直线
    先交写下限
    后交写上限

二重积分的性质之一
所有的下限必须{小于等于}上限, 才能被叫做二重积分
不然就不是二重积分. 要用积分的基本性质, 交换上下限, 添加负号, 才能变为二重积分

Q: 什么时候要交换积分次序?

A: 当 求不出原函数, 或者没有初等函数表达形式的原函数时候
交换积分次序, 变为

一般来说, 交换积分次序之后得到的 , 会比 , 更容易计算

极坐标与直角坐标系的转化
{}
{}
{}

Q: 什么时候选择使用极坐标?
A: 看两大方面, 被积函数与积分区域

• 被积函数
• 积分区域为圆或者圆的一部分

Q: 二重积分的三换
A: 换序
换系
换元

具体二重积分计算的技巧
使用二重积分的性质进行化简

1. 二重积分的{奇偶性}
2. 轮换对称性