09一元函数积分学的计算2

{}
{}

牛顿莱布尼茨公式, 设 是连续 于 上的原函数, 则 证明
设


是一个关于 的特殊的原函数.
所以

设 为连续的偶函数，则
{}

设 为连续的奇函数，则
{}

设 是以 为周期的连续函数，则对任意的实数 , 都有
{}

区间再现公式
设 为连续函数，则
{}

Q: 什么样的被积函数和积分区间，最适合使用区间再现公式（也称 King’s Property）来求解定积分？
A: 区间再现公式 的威力在于，通过将原积分 与变换后的积分 相加，得到 ，使得新的被积函数 f(x) + f(a+b-x) 变得异常简单（通常是常数）。

• 类型一：互补分式结构 (最常见)
  当被积函数 是一个分式，且其分子和分母在 变换下呈现出“互补”关系
  
  。
  
  （这里 ）
  （这里 ）
• 类型二：消除棘手因子结构
  当被积函数是 的形式，直接积分 因子很麻烦，但 函数本身在 变换下具有良好对称性时。
  ，其中
  
  将两式相加：
  
  
  
  这里 ，在 上，。
• 类型三：利用对称性化简结构
  当被积函数关于区间中点 具有某种奇偶对称性时。
  或 (一个常数)。
  如果 （即函数图像关于点 中心对称），那么 ，所以 。
  
  这里 。。
  所以 ，积分值为 0。
  
  这里 。。
  所以 ，积分值为 0。

什么时候适合使用轮换对称性?
分子是分母的一项

区间再现公式推导
设 为连续函数，则
用 进行换元
定积分换元三换

• 积分域. 当 时, ; 当 时,
• 微分符号.
• 自变量.
  
  换元之后积分区间仍然不变, 故被称作区间再现公式

{}
{}
{}
{}{}

设 是以 为周期的连续函数，则对任意的实数 , 都有 , 证明

要证明 , 只要证明
令 ,
因为积分符号不影响积分结果
所以

得证

积分中的方程思想
对于某些难求原函数或者积分的情况, 可以通过方程求解
在{不定积分}中, 一般用{分部积分法}, 建立方程
在{定积分}中, 一般用{区间再现法}, 建立方程

变限积分的求导公式
设 , 其中 在 上连续，可导函数 和 的值域在 上，则在
函数 和 的公共定义域上
{}

Q: 变限积分求导对象可以是 吗
A: 不行, 只有 形式可以进行变限积分求导.
可以通过恒等变形, 等量代换等方式, 把 变成 , 把 移出去

为可积的奇函数, 则对于 , 为偶函数
为连续的奇函数, 则对于 , , 即全体原函数为偶函数

{可积}, 则 在 上{连续}
{连续}, 则 在 上{可导}并且 {}

为可积的偶函数,
只有{}时, 为奇函数
注意 时, {必为}奇函数

设 为连续的奇函数, 其所有原函数都是偶函数

设 为连续的奇函数, 其所有原函数都是偶函数, 证明
某个原函数可以写作
由奇函数的性质可知
,

设 为连续的偶函数, 其某个原函数是奇函数

设 为连续的偶函数, 其某个原函数是奇函数, 证明
某个原函数可以写作
由偶函数的性质可知
,

当 时,
, 偶函数得证