02数列极限

数列收敛{必}有界
数列单调有界{必}收敛
数列有界{未必}收敛

{}
证明考虑使用数学归纳法

Q: 数列极限的定义
A: 与函数的极限定义还是很类似的
设为一数列，若存在常数 , 对于任意的 (不论它多么小), 总存在正整数 , 使得当
时，恒成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于 , 记为
或
如果不存在这样的常数 , 就说数列是发散的.

Q: 数列与的子列的敛散性有什么关系?
A: 若数列收敛，则其任何子列也收敛，且
对于一个数列 , 如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能找到至少两个收敛的子列和 , 但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散。

Q: 如何得到
对于一个数列 , 如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能找到至少两个收敛的子列和 , 但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散。
A: 从原始的定理出发
: 数列收敛
: 其任何子列也收敛
: , 收敛到同一个极限
则
原命题成立则逆否命题也成立.

收敛数列的三大性质{唯一性},{有界性},{保号性}

Q: 收敛数列的唯一性
A: 数列极限存在, 则极限唯一

Q: 收敛数列的有界性
A: 数列极限存在, 则数列有界

数列的极限四则运算规则
与函数相同

Q: 海涅定理 (归结原则) 的定义
A: 设在内有定义，则存在对任何内以为极限的数列 , 极限存在.

Q: 海涅定理的意义 (数列极限与函数极限之间的关系)
A: 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是海涅定理是联系数列极限与函数极限的桥梁。它指出：在 极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化。

Q: 海涅定理的应用 (存在性判断)
A: 用数列判断函数极限的存在性
或者
用函数判断数列极限的存在性

Q: 数列的夹逼准则 (压缩映射)
A: 如果数列及满足下列条件：

Q: 特殊的夹逼准则 (压缩映射)
两种

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