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08一元函数积分学的概念与性质

16分钟阅读

Q: 为什么不定积分 (原函数) 这么强调定义域,
而定积分不怎么强调定义域?
A: 不定义积分与定积分的概念有所不同
从不定积分 (原函数) 的定义看, 要求区间内任意一点都有 成立. 一但区间有问题, 就不符合定义.
定积分计算的是面积. 不要求区间内任意一点都有 成立, 条件相对宽松

原函数 必然可导, 意味着 {必然连续}.
连续决定了, 即使是 为分段函数, 分段点为 , 在定义的区间上仍然有

注意这里是原函数, 不是变限积分, 性质有所不同

原函数 (不定积分) 存在性定理 (1)
连续函数{必有}原函数

Q: 如果函数 在 上连续, 则变限积分 在 上可导吗?
A: 可导, 且 等于

证明如果函数 在 上连续, 则函数 在 上可导, 且 , 涉及到定积分几何意义, 定积分四则运算, 中值定理, 夹逼准则, 分类讨论
显而易见, 为 与 轴围成的一部分面积,

对于 的情况

积分由中值定理可知存在使得由夹逼准则可知在情况下位于之间的被夹逼到

对于 懒得写
对于 懒得写

Q: 为什么连续函数于闭区间上必可积
A: 事实上, 函数于闭区间内连续, 就一定是有界的
例如 在 处不连续,
闭区间取不到 的位置
那么于 上 (), 必有界

函数 在 上可积, 则原函数 在 上{连续}

黎曼积分的框架下, 变限积分存在与 {可积}等价

Q: 可导, 连续, 可积, 有界的联系
A: 可导必连续, 连续必可积, 可积必有界
反过来就不行了

Q: 有界必可积吗?
A: 错误的, 有界并不是充分条件, 只是必要条件
以狄利克雷函数为例子

黎曼积分存在 (定积分存在) 的两个必要条件

  • {积分区间有限}
  • {被积函数有界}

可积是指{黎曼}积分{存在}, 原函数, 反常积分{不一定存在}

函数 在 上可积, 则变限积分 在 上连续证明
可积指的是能够进行定积分运算, 定积分存在的必要条件是函数有界
用函数的有界性证明

由于积分中值定理可知由夹逼定理可知

得证

Q: 对于可导函数
有界区间上 有界, 有界吗?
无穷区间上 有界, 有界吗?
A: 有界区间上 有界, 则 有界
无穷区间上 有界, 则 可能有界, 例如 , 无界, , 有界

Q: 为什么对于可导函数
有界区间上 有界, 有界?
A: 证明

原函数 (不定积分) 存在性定理 (2)
根据间断点判断原函数情况
有{第一类间断点}或者{无穷间断点}的函数 {必没}有原函数
有{振荡间断点}的函数 {可能}有原函数

可导函数 求导的结果 可能是{c1: 连续函数}也有可能是{c1: 震荡间断点函数}

Q: 数列与定积分的转化, 找可爱因子
A: 将一个数列形式的式子转化为定积分的形式
找到四个关键

  4. 的范围 定积分的积分区域

Q: 积分的保号性
A: 若在区间 上, , 则有 , 只有在 恒 时候才会取到

Q: 积分的估值定理
A:

Q: 积分中值定理
A: 设 在区间 上连续, 则在 上至少存在一点 , 使得

Q: 从几何的角度理解积分中值定理
A: 将原来的面积变为一个矩形的面积

拉格朗日中值定理证明积分中值定理
定理（积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续，则在 内至少存在一点 ，使得：

证明：

  1. 构造辅助函数。
    令 ，其中 。
  2. 验证拉格朗日中值定理的条件。
    • 因为 在 上连续，根据微积分基本定理，变上限积分函数 在 上是可导的，其导数为 。
    • 一个函数在区间上可导，则它必然在该区间上连续。因此， 在 上连续，在 内可导。
    • 至此， 满足在区间 上使用拉格朗日中值定理的所有条件。
  3. 应用拉格朗日中值定理。
    根据该定理，在开区间 内至少存在一点 ，使得：
  4. 代入并化简。
    • 根据 的定义，我们有 。
    • 同样地， 。
    • 根据第 2 步的结论，我们有 。
      将这三项代入上面的等式，得到：

      即：
  5. 结论。
    由于定积分的值与积分变量的符号无关，我们可以将 写成 ：

    证明完毕。

Q: 定积分的值与字母无关说的是什么
A: 当定积分存在时, 换自变量对定积分的结果没有影响

定积分存在定理的充分条件
若 在闭区间上{连续}, 则积分存在
若 在闭区间上{单调}, 则积分存在
若 在闭区间上{有界}, 且只有{有限个间断点}, 则积分存在

Q: 于 上有界, 但不连续, 有可能有定积分吗?
A: 连续性并不是必要条件. 有限个间断点, 且有上下界的不连续函数也有定积分

“可积的”, 通常是指这个函数在某个区间上可以计算{定积分}.

Q: 定积分与原函数的区别
A: 原函数是从函数角度求解, 但大部分函数都是没有原函数的. 只有少部分能够满足原函数存在定理.
定积分则超出了函数角度, 而是从面积来看, 不论一个函数是否有原函数, 只要他连续且有界就一定有与 轴围成的面积

Q: 若 是 唯一的跳跃间断点, 则 在 处的连续性与可导性
若 是 唯一的可去间断点, 则 在 处的连续性与可导性
A: 跳跃间断点: 连续, 不可导, 且 ,
可去间断点: 连续, 可导, 且 , 但是

Q: 如何理解若 是 唯一的跳跃间断点, 则 在 处不可导, 且
A: 跳跃间断点性质

由于 可能是从左边靠近也有可能是从右边靠近
而从不同方向靠近, 的结果有所不同
但是极限具有唯一性, 不同的 显然违背了唯一性, 自然极限不存在, 于 点不可导
且左右的极限为 与

反常积分破坏了定积分存在的两个必要条件

  • 破坏{积分区间有限},{无穷区间上的反常积分}
  • 破坏{被积函数有界},{无界函数的反常积分}

Q: 无穷区间反常积分计算, 有三种不同的情况
A: 和黎曼积分计算相比也差不多

Q: 与 关于 点对称吗?
A: 不对称

正负无穷不是一个具体的实数, 而是一群无穷大的数组成的集合.
只有

这时候, 积分区间是无穷大且对称

Q: 什么是瑕点? (反常积分概念)
A: 设瑕点为 , 被积函数 于 的邻域内 无界
, 瑕点为 ,
, 瑕点为 , 于此处无界振荡

无界函数 的反常积分计算, 设瑕点为 有三种不同的情况
若 , 则 {}
若 , 则 {}
若 , 则 {}

Q: 判断积分敛散性时候, 出现多个瑕点怎么处理?
A: 一个积分中只能有一个瑕点, 如果有多个瑕点, 则进行拆分计算.
只有当每个小积分区间都收敛时, 整体才收敛

Q: 有哪些敛散性的比较判别法
A: - 不等式缩放判别

  • 瑕点 除法极限判别

Q: 无穷区间的不等式缩放判别. 在 连续, 且 , 根据大小函数的敛散性互相判断
A:

注意⚠️ 比较判别法要求两个函数都要{}

  • 非负函数的积分具有单调性, 只能单调增加. 这样才能判定, 大的收敛小的必收敛, 小的发散, 大的必发散
  • 非负使得不存在积分抵消的情况. 如有积分抵消, 判别法可能不成立

Q: 敛散性除法极限判别
在 连续, 且 , , , , 根据 不同的情况判别
A:

Q: 被积函数无界的不等式缩放判别法, 在 连续, 瑕点 同为 , 并且 , 根据大小函数的敛散性互相判断
比较判别法
A:

Q: 被积函数无界的不等式缩放判别法, 在 连续, 瑕点 同为 , 并且 , , , 根据 不同的情况判别
A:

敛散性判别究极无敌重要结论
收敛发散
收敛发散

Q: 为什么敛散性判别重要结论要用 作为分界线?
A: 刚好就是发散还是收敛的分水岭
在 上比 低的收敛, 高的发散
在 上比 低的收敛, 高的发散

Q: 从接近速度的角度理解敛散性判别重要结论
A: 对于 来说, 最重要的就是看 时, 接近于 轴的速度. 速度快于 则收敛
同理
对于 来说, 最重要的就是看 时, 接近于 轴的速度. 速度快于 则收敛

Q: 对敛散性重要结论如何广义化? 对于 .
A:

收敛发散

由于 , 从速度的角度看 与 趋向 轴的速度相等, 速度相等自然就可以进行替换

Q: 对敛散性重要结论如何广义化? 对于 .
A: 由于 , 从速度的角度看 与 趋向 轴的速度同阶, 速度同阶勉强进行替换

发散收敛

因为敛散性, 奇偶函数有新的特点
对于偶函数, {}
对于奇函数, {}

关系图谱