06二次型

二次型

Q: 二次型, 标准形, 规范形之间的关系
A: 任意的二阶多项式都可以写成二次型
对角化之后的二次型, 是标准形
对角线上的系数为 1,-1,0, 为规范形

标准形

Q: 标准形的定义
A: 只含平方项的二次型
即

Q: 二次型转换为标准形的三种方法
A: 1. 拉格朗日配方法
2. 正交变换法
3. 合同变换法

Q: 如何利用拉格朗日配方法,将二次型转化为标准形? (有平方项)
以三元二次型 为例
A: 1. 收集所有与 有关的项
2. 凑平方
3. 展开计算
对 继续上述三步操作, 直到全部化为平方形式

引入

Q: 如何利用拉格朗日配方法,将二次型转化为标准形? (无平方项)
以三元二次型 为例子
A: 根据交叉项 , 引入 , 构造出平方项 ,

变为使用拉格朗日配方法将有平方项的二次型转化为标准形问题

Q: 二次型使用正交变换法的过程
A: 求特征值
求 个线性无关的特征向量
将特征向量施密特正交化

Q: 为什么二次型可以用正交变换法, 转化为标准形?
A: 二次型为实对称矩阵, 实对称矩阵一定可以正交对角化

规范形

Q: 规范形的定义
A: 系数为 的标准形
即 , 其中