04随机变量的数字特征

数字特征的计算主要依靠
数字特征的性质进行化简计算
利用完备性计算 41.8

一维随机变量数学期望
离散型随机变量为
分布律为 ,

若无穷级数绝对收敛
{}

一维随机变量数学期望
连续型随机变量为
概率密度为

若反常积分绝对收敛
{}

二维随机变量数学期望
为二维离散型随机变量
分布律为

若无穷级数绝对收敛
{}

二维随机变量数学期望
为二维连续型随机变量
联合概率密度为
若反常积分绝对收敛
{}

数学期望的性质
为随机变量
为任意常数, 则

• {}
• {}
• {}
• 若 与 是相互独立, 则有 {}
• {} { 与 不相关}
• {}

Q: 若
的独立性与相关性如何?
A: 不一定独立
一定不相关

Q: 独立与相关的关系
A:

为随机变量
方差的定义 {c1: }
方差的计算公式 {c1: }
标准差 (均方差) {c1: }

为常数

• {}
• {} , {}
• 对任意的常数 , 有 {}(大小关系)

随机变量
期望存在, 其方差{c1: 不一定}存在
方差存在, 则期望{c1: 必}定存在

={c1: }(原始定义)
={c1: }(cov 形式)
={c1: }( 形式)

与 相互独立是 {充分不必要} 条件
与 不相关是 {充要}条件

若 与 是相互独立 (独立性) 的随机变量, 则
{}

的{充要}条件是 以概率 1 取得常数 {}

分布名称	符号	数学期望	方差	定义域
0-1 分布	{c1: }	{c1: }	{c1: }	{c1: }
二项分布	{c2: }	{c2: }	{c2: }	{c2: }
泊松分布	{c3: }	{c3: }	{c3: }	{c3: }
几何分布	{c4: }	{c4: }	{c4: }	{c4: }
超几何分布	{c5: }	{c5: }	{c5: }	{c5: }
均匀分布	{c6: }	{c6: }	{c6: }	{c6: }
指数分布	{c7: }	{c7: }	{c7: }	{c7: }
正态分布	{c8: }	{c8: }	{c8: }	{c8: }

协方差的定义
{c1: }
协方差的计算公式

1. 定义得到
   {c1: }
2. 逆求
   {c1: }

{}

{=}
{}
为任意常数 {}
是常数 {}
{}

协方差与独立
如果 与 独立, 则 {}

Q: 不相关与独立哪个条件更强?
A: 独立
不相关: 之间不存在直接的线性关系, 但可能存在非线性关系, 例如
独立: 之间不仅不存在直接的线性关系, 而且不存在非线性关系

随机变量 和 , 若
和 的相关系数 (使用 Cov 计算)
{}

相关系数的性质

的{充分必要}条件是: 存在常数 使
{}
当 (正相关) 时 { }
当 (负相关) 时 {}

随机变量 和 不相关, 即

{}
{}
{}

独立性与相关性的关系

• 一般情况下
  随机变量 和
  相互独立是不相关的{c1: 充分不必要}条件
• 特殊情况下
  随机变量 和 的联合分布是二维正态分布
  相互独立是不相关的{c1: 充要}条件

阶级原点矩与中心矩的定义
原点矩{}
中心矩{}