03向量

向量运算

向量内积的定义
设
为 与 的内积, 记作

向量内积的结果是{数}(矩阵? 向量? 数?)

向量正交的定义
若 {向量内积} {}则称 与 正交

显然零向量与任意向量{都}正交 (是否正交)

正交矩阵

正交矩阵的定义
设 A 为 阶矩阵
若{ 或 }, 则称 A 为正交矩阵

正交矩阵的第一充要条件
为 阶正交矩阵
{} {}

正交矩阵的第二充要条件
为 阶正交矩阵
的列 (或行) 向量组为{单位正交}的向量组

Q: 什么是单位正交? 用 解释, 为列向量
A: 单位:
正交: ,

的列 (或行) 向量组为单位正交向量组
什么意思


{c1: }
{c1: }

若 为 阶正交矩阵
{}

Q: 为什么 为 阶正交矩阵, ?
A:

若 为 阶正交矩阵
则{c1: },{c1: },{c1: }均为正交矩阵

若 为 阶正交矩阵
{是}(是否) 正交矩阵

Schmidt 正交化的定义
设向量组 线性无关,

两两正交
将其单位化, 得
则 为单位正交的向量组, 从 到 的过程称为 Schmidt 正交化

线性相关

线性组合的定义
设向量组为 , 任意一组数为
称{}为 的线性组合.

线性表示的定义
设向量组 与向量 , 若存在一组数 , 使得
{}, 则称 可由 线性表示

线性表示的第一充要条件
非零向量 可由向量组 线性表示 {非齐次线性方程组} {有解}

线性表示的第二充要条件
非零向量 可由向量组 线性表示 {向量组矩阵}的秩与{增广矩阵}的秩{相等}

零向量可以用{任意的}向量线性表示

Q: 为什么零向量可以用任意的向量线性表示?
A: 从线性表示的定义出发
对于向量组
存在一组数
显然, 存在 ,
使得 恒成立

向量组等价的定义
设向量组 与向量组
若向量组可以互相{线性表示}
则向量组等价

Q: 向量组 (I) 与向量组 (II) 等价的充要条件 (代数条件)
A: P 为一个可逆矩阵
则有 ,
即两个向量组可以互相线性表示

Q: 向量组 (I) 与向量组 (II) 等价的充要条件 (秩条件)
A:

Q: 向量组 (I) 与向量组 (II) 等价
为 阶矩阵 , 与 等价
为什么向量组等价需要计算
为什么矩阵等价不用计算 r (A, B)
A: 向量组等价与矩阵等价是两个不同的概念
矩阵等价, 意味着可以通过矩阵初等变换, 从矩阵 变为矩阵
而向量等价, 意味着向量张成的空间为不仅仅是维度相同, 而且要求描述空间的基向量也相同. 所以需要

线性表示的求法
向量组
求 能否是 向量组的线性表示
对 作初等行变换, 化为{行最简形矩阵}

Q: 行最简形矩阵要求
A: - 主元是

• 主元所在列的其他元素为
• 主元比它上一行的主元靠右 (左/右)
• 所有零行 (如果有) 都在矩阵的底部

线性相关/无关的第一充要条件
向量组
线性相关: 至少有一个向量{可}由其余向量线性表示
线性无关: 任意向量均{不能}由其余向量线性表示

线性相关/无关的第二充要条件
向量组
线性相关: 齐次线性方程组{c1: 除 0 解外还有非零}解
线性无关: 齐次线性方程组{c1: 只有零}解

线性相关/无关的第三充要条件
向量组
线性相关: {<}
线性无关: {}

个 维向量
线性相关: {} {}
线性无关: {} {}

Q: 求向量组 中线性无关向量的个数
A:

线性相关的充分条件

1. 含有零向量的向量组线性相关
2. 部分相关, 则整体相关
3. 高维相关, 则低维相关
4. 设向量组 可由向量组 线性表示, 且 ,则 线性相关, 即以少表多 , 则多必相关
   逆否命题 : 设向量组 线性无关 , 可由向量组 线性表示 , 则 , 即无关被表, 则个数不多.

个 维向量 (即向量维数小于向量个数) 线性相关

线性无关的充分条件

1. 不含零向量的正交向量组线性无关
2. 整体无关, 则部分无关
3. 低维无关, 则高维无关
4. 不同特征值的特征向量线性无关

Q: 什么是线性无关的低维无关, 则高维无关?
, 若 , 则
A: 的低维无关
则 的高维无关

判断线性相关/无关的方法

• 定义
• 秩
  • V=向量个数
  • V<向量个数