02矩阵

矩阵乘法满足{分配率, 结合率}
不满足{交换律, 消去律}

转置

转置的性质
{}
{}
{}
{}
{}

Q: 吗?
A: 转置矩阵存在秩保持定理

对称矩阵与反对称矩阵的定义设 为 阶矩阵, 若 则称 为实对称矩阵. 若 , 则称 为反对称矩阵

逆

逆的性质
{}
{}
{}
{}
{}

阶矩阵 可逆的充要条件

1. {}
2. {}
3. 的特征值{均不为零}

Q: 一个 的矩阵 , 在什么样的情况下
存在左逆 使得
存在右逆 使得
A: 左逆 : 矩阵 为列满秩矩阵
右逆 : 矩阵 为行满秩矩阵

逆的求法
逆的定义: 或
初等变换法: {c1: }或 {c1: }
伴随矩阵法: {c2: }

分块矩阵的逆设 为 阶可逆矩阵, 为 阶可逆矩阵, 则
{c1: }
{c1: }

分块矩阵的秩
现有 阶矩阵
={}
若不存在初等变换矩阵 使得 ,
则 {}
若存在初等变换矩阵 使得 或者
则 {}

秩

阶子式的本质是{行列式}
在 阶矩阵 中任取 行与 列 ( ),
位于这些行与列的交叉点上的 个元素构成一个 阶行列式, 称为 的一个 阶子式

Q: 秩的原始定义 (子式角度)
A: 最大的非零子式的阶数

Q: 加边法定理描述
A: 如果矩阵 中有一个 阶非零子式 ，并且所有包含 的 阶子式（即“加边子式”）都等于 ，那么矩阵 的秩就等于 。

零矩阵的秩为{零}

若矩阵 有个 阶子式非零, 则 {}
若矩阵 所有的 阶子式均为零, 则 {}

{} {}

满秩的定义
设 为 阶矩阵,
若 , 则称 为{行满秩}矩阵
若 , 则称 为{列满秩}矩阵
设 为 阶矩阵, 若 , 则称 为{满秩}矩阵

设 为 阶矩阵, 则 {}

设 为 阶矩阵, 则
{}

对于一个 矩阵 和一个 矩阵 , 有
{c1: } {c1: }

Q: 对于一个 矩阵 和一个 矩阵 , 有

当 时, 是否成立?
A: 仍然成立
即使是列向量

{c1: } {c1: }

行满秩与列满秩的秩保持定理
为 阶矩阵
若 ,则 {c1: }
若 ,则 {c1: }

Q: 为什么行满秩与列满秩的秩保持定理成立?
为 阶矩阵, 为
若 ,则
若 ,则
A: 以 ,则 为例
为列满秩矩阵, 形如
形如
可以视作, 矩阵右乘 , 即对 进行列变换

, 可以视作以 为基进行 线性变化之后得到的向量
自然

设 为 阶矩阵, 为 阶矩阵, 满足 ,则 {}

为 n 为非零列向量

{}

秩一矩阵的特殊性质

的 n 阶矩阵 A (秩一矩阵) 的特点

• 有{c1: n-1}重特征值{c1:0}(仅在 成立)
• 唯一非零特征值等于{c1: }
• {c2: }

伴随

伴随矩阵的形式
设 阶矩阵 , 为 的伴随矩阵
{}

{}
{}
{ }
{}
{}
{}
{}
{}

Q: 是否要求 非零?
A: 不要求
即不论 是否为可逆矩阵 恒成立

上标运算的{可交换性}
线性代数是中上标运算可以交换
上标有 , 高次, 幂, 转置, 逆, 伴随

对于非零 n 阶矩阵 有

Q: 相等吗?
A: 相等

初等矩阵

初等矩阵的定义
单位矩阵 经过一次{初等变换}所得到的矩阵称为初等矩阵

三种初等变换对应三种初等变换矩阵:
{两行 (列) 交换} 记作 {}
{某行 (列) 乘以非零常数 } 记作 {}
某行 (列) 乘以非零常数 后, 加到其他行列记作 {}

的左乘与右乘
左乘: {对行操作第 行乘以 , 加到第 行}
右乘: {对列操作第 列乘以 , 加到第 行}

初等行变换为{c1: 左乘}(左乘/右乘) 相应的初等变换矩阵
初等列变换为{c1: 右乘}(左乘/右乘) 相应的初等变换矩阵

可逆矩阵的初等分解定理
可逆矩阵可以写成有限个{初等矩阵}的乘积

初等变换矩阵的性质
{}
{}
{}

Q: 初等变换矩阵会改变行列式的值吗?
即
, 是否恒成立?
A: 不恒成立

等价

Q: 矩阵 等价的初等变换充要条件
A: 1. 同形
2. 可以经过有限次初等变换变为矩阵

Q: 矩阵 等价的代数充要条件
A: 1. 同型, 为 阶矩阵
2. 存在 阶矩阵可逆矩阵 与 阶矩阵可逆矩阵 , 使得

Q: 矩阵 等价的秩充要条件
A: 1. 同型, 为 阶矩阵
2.

Q: 为什么 为 阶矩阵 ,若 , 则 与 等价
A: A, B 为同型矩阵, 并且 可知主变量的个数相同
对 B 矩阵进行初等行变换与初等列变换, 可以得到 A 矩阵
即
符合矩阵等价的定义, 与 等价