09一元函数积分学的计算2

{c1:}
{c2:}

牛顿莱布尼茨公式, 设 是连续 于 上的原函数, 则 证明
设


是一个关于 的特殊的原函数.
所以

设 为连续的偶函数,则
{c1:}

设 为连续的奇函数,则
{c1:}

设 是以 为周期的连续函数,则对任意的实数 , 都有
{c1:}

区间再现公式
设 为连续函数,则
{c1:}

Q: 什么样的被积函数和积分区间,最适合使用区间再现公式(也称 King’s Property)来求解定积分?
A: 当变换 能使 显著简化时最合适。常见情形：二者之和为常数； 且 ；或关于区间中点成奇对称。核心式为 。

什么时候适合使用轮换对称性?
分子是分母的一项

区间再现公式推导
设 为连续函数,则
用 进行换元
定积分换元三换

• 积分域. 当 时, ; 当 时,
• 微分符号.
• 自变量.
  
  换元之后积分区间仍然不变, 故被称作区间再现公式

{c1:}
{c2:}
{c3:}
{c4:}{c5:}

设 是以 为周期的连续函数,则对任意的实数 , 都有 , 证明

要证明 , 只要证明
令 ,
因为积分符号不影响积分结果
所以

得证

积分中的方程思想
对于某些难求原函数或者积分的情况, 可以通过方程求解
在{c1:不定积分}中, 一般用{c2:分部积分法}, 建立方程
在{c3:定积分}中, 一般用{c4:区间再现法}, 建立方程

变限积分的求导公式
设 , 其中 在 上连续,可导函数 和 的值域在 上,则在
函数 和 的公共定义域上
{c1:}

Q: 判断下列命题，并写出关键条件或理由：变限积分求导对象可以是 。
A: 不行, 只有 形式可以进行变限积分求导.
可以通过恒等变形, 等量代换等方式, 把 变成 , 把 移出去

为可积的奇函数, 则对于 , 为偶函数
为连续的奇函数, 则对于 , , 即全体原函数为偶函数

{c1:可积}, 则 在 上{c2:连续}
{c3:连续}, 则 在 上{c4:可导}并且 {c5:}

为可积的偶函数,
只有{c1:}时, 为奇函数
注意 时, {c2:必为}奇函数

连续是 成立的{c1:充分不必要}条件

设 为连续的奇函数, 其所有原函数都是偶函数

设 为连续的奇函数, 其所有原函数都是偶函数, 证明
某个原函数可以写作
由奇函数的性质可知
,

设 为连续的偶函数, 其某个原函数是奇函数

设 为连续的偶函数, 其某个原函数是奇函数, 证明
某个原函数可以写作
由偶函数的性质可知
,

当 时,
, 偶函数得证