01随机事件和概率

随机试验 的结果 被称为{c1:样本点}
所有样本点 的集合被称为随机试验 的{c2:样本空间 }
样本空间 的子集被称为{c3:随机事件}

事件的本质是{c1:集合 (样本点 的集合)}
事件的运算规则和{c2:集合}的运算规则相同

事件 是否发生的判断
在该次随机试验的结果样本点是否被事件 {c1:包含}

样本空间 包含所有的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为{c1:必然事件}
空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为{c2:不可能事件}

事件的运算
事件 与事件 做差:
{c1:}(集合语言描述)

互斥与相容
若事件 与事件 互斥, 可以同时发生吗
事件 与事件 相容:
可以同时发生,

事件的相互关系
事件 与事件 互逆 (对立):
不能{c1:同时}发生, 但是必须{c2:有一个}发生, {c5: }, {c5: }

互逆事件是条件更加严格的{c1:互斥 (不相容)}事件

Q: 对于事件 A, B, 互逆与不相容有什么区别?
A: 互逆: 要求 并且
不相容: 仅要求

集合分配律
{c1:}
{c2:}

随机事件的运算规律就是集合的运算规律
要注意最重要的两个规律
吸收率和德摩根律

Q: 处理 谨记的规则
A: 两 bar 变一 bar
一 bar 变零 bar
以 为例

概率的公理化定义

1. 非负性：{c1:对于每一个事件 A, 有 }
2. 规范性：{c2:对于必然事件 , 有 }
3. 可列可加性：{c3:设 , 是两两互不相容的事件，即对于 , 有
   , 则称 为事件 的概率}

条件概率定义为
{c1:}

乘法公式:
设 两个事件，若 , 则有
{c1:}

完备事件组的本质: 为样本空间 的一个{c1:多次划分}

古典概型
{c1:}
几何概型
{c2:}

古典概型与几何概型的区别

• 古典概型
  有{c1:有限}个样本点 (样本空间 包含{c1:有限}个基本事件)
• 几何概型
  有{c2:无限}个样本点 (样本空间 包含{c2:无限}个基本事件)

Q: 几何概型的计算方法, 映射法
A: 把 映射到能够包含无限样本点的坐标系上得测度为
再把目标区间映射到相同坐标系上得测度为
概率为

设事件
有 与
则可以推出 {c1:}

设事件
则 {c1:}

翻译, 将文字语言转化为概率论语言
设事件
A, B 至少发生一个:{c1:}
A, B 同时发生:{c2:}
若 A 发生则 B 必发生:{c3:}
至少一个发生:
正向表达: {c4:}
逆向表达: {c5:}
恰有一个发生:
概念公式:{c6:}
计算公式:{c7:}

概率不等式:
{c1:}
{c2:}{c3:}

事件的独立性的定义
{c1:}
独立性不是语言中的”独立”
而是在描述一个相互关系

和 与任何事件{c1:相互独立}

独立的传播性
对于事件
与 相互独立 {c1: 与 相互独立}{c1: 与 相互独立}{c1: 与 相互独立}

若两任意事件 与 独立且 , 则 {c1:} 或 {c2: 并且 }

若事件 相互独立，则其中任意 个事件{c1:相互独立}，反之{c2:不成立}

Q: 判断下列命题，并写出关键条件或理由：如果两个随机变量 和 相互独立, 则与相互独立。
A: 相互独立
只要两个随机变量 和 相互独立
任何只涉及 的函数 和任何只涉及 的函数 也相互独立

两两独立与相互独立的区别
对于事件 来说
证明两独立只要证明

但是相互独立还要证明
{c1:}

Q: 在 时，为什么 与事件 独立等价？
A: 由条件概率定义，。因此 ，右式正是独立的定义。

设事件 相互独立
则
{c1:}
{c2:}={c3:}

对于普通的随机事件
{c1:}

独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做若干次的试验称为独立重复试验. 其中，各次试验的结果之间
{c1:相互独立}，且同一事件在各次试验中出现的概率相同

{c1:伯努利试验}的定义
每次试验只有{c2:对立}的两个结果 和

重伯努利试验
将每次试验只有对立的两个结果 和 的伯努利试验独立重复进行 次
设在 重伯努利试验中，
则在 重伯努利试验中事件 发生 次的概率为
{c1:}(二项分布的概率公式)
的取值范围为{c2:}

条件概率的题目往往与{c1:独立性}有关