🪴 l4rk's Quartz

02随机变量的分布函数

6分钟阅读

判断是否是分布函数的充要条件
{c1:单调不减}
{c2:右连续}
{c3:规范性,}

判断是否是分布律/概率密度函数的充要条件
{c1:非负性}
{c2:规范性,}

已知区间 , 分布函数 求
的开闭情况一般为{c1:左开右闭}

因为分布函数 的{c2:右连续}性质

Q: 对于连续型随机变量
其分布函数连续性如何?
A: 不仅仅是右连续
而是左右连续

对于,
离散型:
连续型:

对于连续型随机变量

{c1:分布律}只属于离散型随机变量
{c2:概率密度}只属于连续型随机变量

分布律与分布函数 (累计分布函数) 的关系
分布函数是分布律的{c1:累积函数}
离散型 {c2:}
连续型 {c3:}

离散型随机变量分布律

  • 0-1 分布

    记作{c1:}

离散型随机变量分布律

  • 二项分布
    {c1:}
    的取值范围:{c2:}
    记作 {c3:}

离散型随机变量分布律

  • 泊松分布
    {c1:} 为常数
    的取值范围:{c2:}

泊松分布中参数 的意义为{c1:在单位时间或空间内，该随机事件的平均发生次数}

离散型随机变量分布律

  • 几何分布
    {c1:}
    几何分布具有{c2:无记忆性}

离散型随机变量分布律

  • 超几何分布 (不放回抽样)
    {c1:}
    的取值范围:{c2:}

使用泊松分布来近似计算二项分布
设随机变量
当 充分大 较小，且 不太大，
可由参数为 的指数分布近似计算以 为参数的二项分布
{c1:}

Q: 为什么在 条件下, 可以使用泊松分布来近似计算二项分布?
A: 在该条件下, 二项分布中的 与泊松分布中的 意义相同
举例
n=3600s p=每秒来客人的概率, 二项分布的分布函数为
该二项分布的意义为, 在一小时中, 来了 k 个客人的概率
由于 , 可以将 视作单位时间 (一个小时) 来客人的平均频率 , , 则泊松分布的分布函数为
该泊松分布的意义为, 在单位时间中 (一小时), 来了 k 个客人的概率
两者意义相同

对于超几何分布

当 时, 可以近似为{c1:二项分布 }

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

  • 均匀分布
    若随机变量 的概率密度为
    其他
    则称 在区间 () 上服从均匀分布. 记作 {c1:}

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

  • 指数分布
    {c1:} 注意不同的定义域, 的取值不同
    {c2:}
    指数分布也有无记忆性

常见离散型随机变量概率密度以及分布函数

  • 正态分布
    {c1:},
    {c2:}

正态分布的四大要素
{c1:定义域 }
{c2:配方 }
{c3:除系数 }
{c4:添因子 }

正态分布的标准化
设 , 其分布函数为 , 则
{c1:}
非零线性变换 服从正态分布 {c2:}

指数分布的无记忆性
若 , 则对任意正数 有
{c1:}

Q: 哪两个分布具有无记忆性?
A: - 几何分布

  • 指数分布

不同的分布的现实意义
二项分布:{c1:n 次独立实验中 k 次成功的概率}
几何分布:{c2:第 k 次为第一次成功的概率}
指数分布:{c3:从当前到事件发生需要等待时间⇐或者>X 的概率 (分别对应分布函数与生存函数)}
超几何分布:{c4:不放回取 n 次, 取到 k 个白球的次数}
泊松分布:{c5:事件单位时间内发生 k 次的概率}

Q: 设连续型随机变量有严格单调增加的分布函数

求Y的分布函数
A:

已知连续型随机变量的概率密度为
,求Y的分布函数时候,如何寻找Y的分段点

  1. {c1:f(x)的分段点代入}
  2. {c2:在定义域上的最值}

关系图谱