07数理统计的综合应用

矩估计

数理统计中的矩估计法的计算

1. {c1:计算总体矩 EX}
2. {c2:总体矩=样本矩, } 得到方程组
3. 根据 2 的方程组,{c3:求解未知参数}

Q: 矩估计中, 如果 EX=c, 而不是一个关于未知参数的函数,
无法通过连立 得到一个未知参数解, 怎么办?
A: 按顺序使用更高阶的 k 阶矩 (二阶、三阶…), 直到找到一个包含未知参数的总体矩.
连立总体矩=样本矩,

矩估计法中使用的矩可以是{c1:原点矩} 也可以是{c2:中心矩}

Q: 矩的阶数与未知参数个数的关系
A: 有 个未知参数, 就求到 阶的矩

最大似然估计

似然函数

• 离散型分布律为
  {c1:}
• 连续型概率密度为
  {c2:}

估计量的评价标准:

• 无偏: {c1:估计量的数学期望 存在, 且 , 则称 是 的无偏估计}
• 有效: {c2:估计量 与 都是 的无偏估计量. 若 则称 更有效}
• 一致: {c3:当 时, 估计量 依概率收敛于 (即对任意 , 有 ) 则称 是 的一致 (相和) 估计量}

一致性的判断

Q: 单个参数 , 使用点似然估计, 求出
A: 1. 总体矩:
2. 样本矩:
3. 总体矩=样本矩, 即 , 得到

求最大似然估计的过程实际上是在寻找{c1: 似然函数}的{c2:最大}值

最大似然估计的求解过程 (离散型与连续型)

1. 写出似然函数
2. 求
3. 判断 是否有解
   • 有解, 解出参数
   • 无解, 讨论 (常在边界点), 得到参数
     

假设检验

假设检验的两类错误
第一类错误:{c1:原假设 为真,却拒绝 (弃真)}
第二类错误:{c1:原假设 为假,却接受 (取伪)}

双边假设检验:形如
单边假设检验:
形如 是{c1:右边}假设检验
形如 是{c1:左边}假设检验

Q: 时,假设检验的拒绝域为
时,假设检验的拒绝域为
A: 令 Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)。右侧检验 H_1:\mu>\mu_0 的拒绝域为 Z>z_\alpha；左侧检验 H_1:\mu<\mu_0 的拒绝域为 Z<-z_\alpha。

Q: 时,假设检验的拒绝域为
A: 令 Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)。双侧检验的拒绝域为 |Z|>z_{\alpha/2}，即 Z<-z_{\alpha/2} 或 Z>z_{\alpha/2}。