13多元函数微分学

可微与可偏导

可微{c1:必}可偏导

可偏导{c1:不一定}可微

Q: 判断下列命题，并写出关键条件或理由：偏导不存在, 可能可微。
A: 不可能
可微则偏导必存在 逆否命题为: 偏导不存在一定不可微

Q: 二元函数在点 处的偏导数 有什么几何意义？
A: 保持 y 坐标不变 (y=b), 让 x 坐标在 a 的附近微小地移动, 看函数值 f 的变化率是多少

在 (0, b) 点求

Q: 为什么可偏导不一定可微?
A: 这里的可偏导指的是在 方向上可偏导, 而不是所有方向.
可微⇒所有方向都可偏导
所有方向都可偏导⇒可微
自然仅仅 方向可偏导是推导不出可微的
这是可微要求的

Q: 多元函数 于点 可微的充分条件
A: 若 在点 处的偏导数存在且连续, 则该函数在点 处可微

Q: 多元函数可微的充要条件(极限形式)
A:

偏导连续判定

Q: 判断函数 在点 处的偏导数是否连续
A: 先由定义求点值 、；再求邻域内偏导表达式并取 的极限。极限分别等于对应点值时偏导连续；分段函数还须沿每条分界线检查。

Q: 一元函数可微, 可导, 连续, 极限存在相互关系
A: 对一元函数，在点 处“可微”与“可导”等价；可导 连续 极限存在。反向一般不成立。

Q: 多元函数一阶偏导连续, 可微, 偏导存在, 连续, 极限存在相互关系
A: 在点的某邻域内一阶偏导存在且在该点连续 在该点可微；可微 连续且各一阶偏导存在；连续 极限存在。其余逆命题一般不成立，且仅有各偏导存在不能推出连续或可微。

多元函数一阶偏导连续则可微
一阶偏导连续是{c1:充分不必要条件}(充要性判断)

多元函数 于点 一阶偏导连续条件过强
可以减弱为 {c1:一边连续, 一边存在}
一阶偏导于 上连续, 于 上存在
或者
一阶偏导于 上连续, 于 上存在
证明不给出

多元函数一阶偏导连续则可微
设 于点 处偏导连续, 证明于该点可微
拉格朗日与脱帽法

可微的判定

Q: 可微的判别思路两大判断思路定义法与做商法
A:
做商法
全增量与线性增量做差的结果与 做商, 结果是否是
定义法
判断全增量与线性增量做差, 结果是否是 的高阶无穷小

不论 对哪个变量求导, 也不管求了几次导, 求导后的新函数仍然具有与原函数完全{c1:相同}的{c2:复合结构}

不论 对哪个变量求导, 也不管求了几次导, 保证完全相同的复合结构有什么意义?
不同的偏导, 不同次数的求导, 结果都可以再次进入这个相同的复合结构中, 再次选择某个变量进行求偏导
有助于高次偏导的计算

全微分与全增量区别
全增量{c1:}描述了{c2:实际的函数值变化}
全微分{c3:}提供了{c4:线性近似}

隐函数

隐函数存在定理
对于由方程 确定的隐函数 , 当 时, 则有
{c1:}

隐函数存在定理的拓展
对于由方程 确定的隐函数 , 当 时, 则有
{c1:}
{c2:}

, 是一个关于 的一个隐函数, 仍然可以用{c1:链式求导规则}求偏导
令 , 求二阶偏导, z 是一个由 确定的隐函数

多元函数微分学应用

Q: 二元函数中, 极值点可能出现在哪些位置?
A: 全部偏导数为 的点或者至少有一个一阶偏导数不存在的点

Q: 二元函数 在点 处取得极值是一元函数 和 分别在 和 处取得极值的什么条件?
A: 充分不必要
充分:
在点 处取得极值, 意味着这是邻域一圈中的极值点.
和 只是截取邻域中某个方向. 既然在整个邻域中是极值点, 那么, 在某个方向上自然也是极值点
不必要:
例如马鞍形状

对于两条马鞍线, 在鞍点取到最大值与最小值, 但并不是马鞍面的最值.
必要性显然不成立

二元函数判断点 取极值的充分条件
判别法
依赖于二次偏导的结果
{c1: }
{c2: }
{c3: }
{c4: }
根据 的不同结果, 极值有不同的情况

• :{c5: 极值}
• :{c6: 为鞍点,非极值}
• :{c7: 判别法失效, 该点可能是极值点, 也可能不是极值点. 利用极值的定义判断或者路径判断}
  当 时, 极值情况判断是极大值还是极小值
  极大值:{c8: }
  极小值:{c9: }
  和二阶导判断凹凸性一样
  不适用于更多元的函数

Q: 寻找多元函数极值点的流程
根据必要条件与充分条件寻找
A: - 根据必要条件, 找有可能的点, 即偏导结果为 0 或者偏导不存在的点

• 根据充分条件, 即 判别法, 求得是极大值还是极小值

无条件极值

二元函数无条件极值, 必要条件
设 在点 处 则{c1:}
可以推广到三元及三元以上的函数,

Q: 如何理解 为多元无条件极值的必要条件, 而不是充分条件
A: 必要性: 在点 处 则
不充分性: 以 马鞍面为例, 在鞍点 处, , 但 并不是 的极值点

Q: 无条件极值中的无条件是什么意思
A: 求解无条件极值时, 只需要考虑函数本身, 不需要考虑任何约束条件 (如等式或不等式约束)

条件极值

Q: 用拉格朗日乘数法
求目标函数 在约束条件 下的最值
A: 构造 ，联立 与约束 求候选点；把候选点代回 比较函数值。适用时还应检查约束梯度的正则性。

Q: 拉格朗日乘数法找到的最值是最大值还是最小值?
A: 拉格朗日乘数法找到的最值, 是全部的最值.
如果题目要求最大值, 或者最小值, 还要将全部最值的结果比较

Q: 使用拉格朗日乘数法解决条件极值的时候,除了计算内部的极值点还需要做什么?
A: 计算边界与端点上的极值点

Q: 为什么有界闭区域上连续函数一定有最值?
A: 极值定理:
一个定义在有界闭区域 上的连续函数, 必定在该区域上取得最大值和最小值

有界闭区域极值

Q: 求有界闭区域 上连续函数 的最值. 有界闭区域 由函数 定义
A: 分别找三类候选点：区域内部的驻点与不可导点；边界 上由参数法或拉格朗日乘数法得到的点；边界端点或角点。计算并比较所有候选点的函数值，最大者和最小者即全局最值。

隐函数极值

Q: 由 确定的隐函数 ，其取得极值的必要条件是什么？
A: 和无条件极值一样，一阶偏导数为零：
且

Q: 求出隐函数在驻点处的 值后，如何判断极值类型？
A: 使用与无条件极值完全相同的二阶偏导数判别法：计算 并根据其和 的符号进行判断。

与 之间的关系
在一般情况下 =