02数列极限

数列收敛{c1:必}有界
数列单调有界{c2:必}收敛
数列有界{c3:未必}收敛

Q: 数列极限的定义
A: 与函数的极限定义还是很类似的
设 为一数列,若存在常数 , 对于任意的 (不论它多么小), 总存在正整数 , 使得当
时, 恒成立,则称常数 是数列 的极限,或者称数列 收敛于 , 记为
或
如果不存在这样的常数 , 就说数列 是发散的.

Q: 数列 与 的子列的敛散性有什么关系?
A: 若数列 收敛,则其任何子列 也收敛,且
对于一个数列 , 如果能找到一个发散的子列,则原数列一定发散;如果能找到至少两个收敛的子列 和 , 但它们收敛到不同极限,则原数列也一定发散.

Q: 为什么存在发散子列，或存在极限不同的两个收敛子列，都能推出原数列发散？
A: 若原数列收敛，则每个子列都收敛且极限与原数列相同；对这一命题取逆否即可得到两种判据。

收敛数列的三大性质{c1:唯一性},{c2:有界性},{c3:保号性}

Q: 收敛数列的唯一性
A: 数列极限存在, 则极限唯一

Q: 收敛数列的有界性
A: 数列极限存在, 则数列有界

数列的极限四则运算规则
与函数相同

海涅定理 (归结原则) 的定义
设 在 内有定义,则 存在 对任何 内以 为极限的数列 , 极限 存在.

海涅定理的意义 (数列极限与函数极限之间的关系)
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是海涅定理是联系数列极限与函数极限的桥梁.它指出:在 极限存在的条件下,函数极限和数列极限可以相互转化.

海涅定理的应用 (存在性判断)
用数列判断函数极限的存在性
或者
用函数判断数列极限的存在性

Q: 数列的夹逼准则 (压缩映射)
A: 如果数列 及 满足下列条件:

1. 从某项起,即存在 时 , 这里的等号不需要验证
2. 
   则数列 的极限存在,且
   与函数的夹逼准则差不多

Q: 特殊的夹逼准则 (压缩映射)
两种

• 找 (有相邻项倍数关系)
• 拉格朗日中值定理 (有相邻项递推关系)
  A: 若存在 0<k<1 使 |x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|，则迭代得 |x_{n+1}-a|\le k^n|x_1-a|\to0。若 x_{n+1}=f(x_n)、f(a)=a 且 |f'(x)|\le k<1，由中值定理可推出同一压缩不等式。