01行列式

行列式定义

行列式的定义阶行列式定义为
{c1:}
即 {c2:}(数量) 项{c3:不同行不同列}元素乘积的代数和
其中序列的逆序数

行列式的本质是{c1:测度}

两行 (两列) 互换, 行列式符号{c1:换号}

一行 (或列) 乘加到另一行 (或列), 行列式的值{c1:不变}

两行 (两列) 成比例, 行列式为{c1:}

主对角上下三角行列式
{c1:}

副对角上下三角行列式
{c1:}

阶形行列式
{c1:}

范德蒙行列式
{c1:}{c2:}
使用数学归纳法证明, 不需要掌握

Q: 为阶矩阵, 为阶矩阵

为什么
A: 经过了次数的交换, 能够将变为

为阶矩阵, 为阶矩阵, 为阶矩阵
{c1:}
{c2:}
{c3:}
分块上/下三角结构行列式计算规则与一般行列式相同

Q: 为什么一般分块矩阵的行列式不能直接写成？
A: 不能。矩阵乘法通常不交换，不能照搬二阶标量行列式公式；应使用分块三角结构，或在相应块可逆等条件下使用 Schur 补公式。

的余子式为{c1: }
的代数余子式 {c1: }

代数余子式与余子式的关系
={c1:}

行展开定理
展开行元素与{c1:行列都对应}的代数余子式相乘, 结果为{c2:}
展开行元素与{c3:行对应, 列不对应 或者 行不对应,列对应}的代数余子式相乘, 结果为{c4:}

设为阶矩阵, 则
{c1:}
{c2:}
{c3:}
{c4:}
{c5:}
设的特征值为则 {c6:}
若与相似, 则 {c7:}

行列式拆分与合并计算
{c1:} = {c2:}
一次拆分或合并一列

Q: 在什么样的条件下成立?
A: 只有当 A, B 均为方阵的时候成立

克拉默法则并非对所有线性方程组都适用, 它必须满足以下两个严格的条件:

方程的个数必须等于未知数的个数. 也就是说, 如果你的方程组有 n 个未知数 (如 x, y, z), 那么就必须有 n 个方程. 这确保了系数矩阵是一个方阵(n x n 矩阵).
系数矩阵的行列式不能为零 (D ≠ 0). 这是最关键的条件. 如果行列式为零, 该方程组要么没有解, 要么有无穷多个解, 克拉默法则在这种情况下无法使用.

Q: 现有以下方程组, 使用克拉默法则求解

A: 设系数矩阵为、常数列为，并满足为方阵且。把的第列替换为得，记，则（）。